Discrete and continuous sums: The Integral Test
Ciao a tutti ragazzi, e benvenuti in una nuova lezione! E’ da un po’ di tempo che la stavo preparando, giacchè riguarda un argomento al quale sono molto “affezionato” fin dalla prima volta che l’ho studiato: il criterio integrale per le serie.
Che cosa sarà mai? In due parole, questo teorema lega il comportamento limite delle serie a quello degli integrali, il che può essere banale a prima vista (chi è già familiare con lo studio degli integrali con le somme di Riemann avrà di certo già in mente un’analogia con queste ultime), ma in verità non lo è affatto: infatti, lo stesso teorema si limita a considerare soltanto un insieme LIMITATO di serie e di funzioni.
Per cui, dando un bando alle ciancie, cominciamo subito con il seguente
Procediamo con la dimostrazione: notiamo preventivamente che la tesi è ben posta, ossia che tutti gli oggetti in gioco “hanno senso” nel modo in cui sono stati definiti. Che cosa dobbiamo far vedere in questo caso?
L’integrale generalizzato
…esso è ben definito perchè per ipotesi la funzione è monotòna (la quale condizione ricordiamo essere sufficiente alla Riemann-integrabilità).
2. E’ lecito supporre (nel senso della freccia ⟸) che sia ben posta la convergenza (o divergenza a +∞ …giacchè stiamo parlando di un integrale di una funzione non-negativa!) dell’integrale
…questo perchè la relativa funzione integrale F della funzione f è crescente sul suo dominio (ipotesi: f non-negativa).
3.Infine, la serie
…è lecito supporla convergente (altro senso della freccia) in quanto la funzione è non-negativa e quindi di conseguenza la serie è a termini non-negativi.
Iniziamo quindi con la dimostrazione vera e propria: per la prima parte del teorema ci occorrerà fare una semplice osservazione grafica, dedurne una disuguaglianza e tutto si baserà su questa informazione chiave.
Possiamo formalizzare questo grafico in questo modo:
Quindi con un po di semplici passaggi algebrici siamo arrivati al risultato parecchio intuitivo che è stato illustrato nella figura sopra. Ora per concludere è semplicissimo:
Supponiamo la serie di partenza converga, allora per la DISUGUAGLIANZA A DX, invocando il teorema del confronto per successioni si ha che l’integrale generalizzato converge;
Se invece supponiamo che la serie diverga (osservare attentamente che ciò è come provare la frase contronominale della freccia ⟸) allora per la DISUGUAGLIANZA A SX si ha che la funzione integrale F(n) è illimitata superiormente, dunque anche l’integrale generalizzato diverge.
Ora passiamo alla seconda parte della dimostrazione, ben più intrigante!
